【題目】已知：函數(shù)
.
（1）此函數(shù)在點(diǎn)
處的切線與直線
平行，求實(shí)數(shù)
的值；
（2）在（1）的條件下，若
，
恒成立，求
的最大值.
【答案】（1）
； （2）3.
【解析】
（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出在點(diǎn)
處切線的斜率，求出直線
的斜率，根據(jù)兩直線平行，得到等式，求出實(shí)數(shù)
的值。
（2）方法一：在
條件下，先取特殊值滿足不等式，求出
的最大值，再證明當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；
方法二：當(dāng)時(shí)，
恒成立，轉(zhuǎn)化為
對(duì)恒成立，求
的最小值大于.通過(guò)二次求導(dǎo)法，求出的最小值的取值范圍，最后求出的最大值。
（1）
點(diǎn)處的切線與直線平行
（2）法一：當(dāng)時(shí)，恒成立，
令
，有
，
又為正整數(shù)，
的最大值不大于
.
下面證明當(dāng)
時(shí)，
恒成立，
即證當(dāng)時(shí)，
恒成立.
令
，
則
，當(dāng)
時(shí)，
；
當(dāng)
時(shí)，
，
當(dāng)
時(shí)，
取得極小值
.
當(dāng)時(shí)，恒成立.
法二：當(dāng)時(shí)，恒成立，
即對(duì)恒成立.
即的最小值大于.
記
，
則
，
在
上連續(xù)遞增，
又
，
存在唯一實(shí)根
，且滿足：
，
由
時(shí)，
，
；
時(shí)，，
知；
的最小值為
的最大值為3,
的最大值為3.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖是一種加熱食物的太陽(yáng)灶，上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛食物的容器放在拋物線的焦點(diǎn)處，容器由若干根等長(zhǎng)的鐵筋焊接在一起的架子支撐．已知鏡口圓的直徑為8m，鏡深1m．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的方程和焦點(diǎn)的位置；
（2）若把盛水和食物的容器近似地看作點(diǎn)，試求每根鐵筋的長(zhǎng)度．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點(diǎn)
為曲線
的一個(gè)焦點(diǎn)， 
為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)
為拋物線
上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)
作
軸的平行線交拋物線的準(zhǔn)線于
，直線
交拋物線于點(diǎn)
.
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）若
、
、
三個(gè)點(diǎn)滿足
，求直線
的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】樹(shù)立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來(lái)越深入人心，已形成了全民自覺(jué)參與，造福百姓的良性循環(huán)．據(jù)此，某網(wǎng)站退出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，環(huán)境治理和保護(hù)問(wèn)題仍是百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn)，參與調(diào)查者中關(guān)注此問(wèn)題的約占
．現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求出
的值；
（2）求這200人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（3）現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求這2組恰好抽到2人的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，平面
平面
， 
， 
， 
， 
， 
．
（Ⅰ）求證： 
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）若點(diǎn)
在棱
上，且
平面
，求線段
的長(zhǎng)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，已知
， 
是橢圓
的左右焦點(diǎn)， 
為橢圓
的上頂點(diǎn)，點(diǎn)
在橢圓
上，直線
與
軸的交點(diǎn)為
， 
為坐標(biāo)原點(diǎn)，且
， 
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)
作兩條互相垂直的直線分別與橢圓
交于
， 
兩點(diǎn)（異于點(diǎn)
），證明：直線
過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象如圖所示,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),則不等式g(x)≥3x-3的解集是( )
A. [-1,1]∪[2,+∞)B. (-∞,-1]∪[1,2]
C. (-∞,-1]∪[2,+∞)D. [-1,2]
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線
與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線
交于A，B兩點(diǎn)，且
，求a的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】2022年第24屆冬奧會(huì)將在北京舉行。為了推動(dòng)我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,京西某區(qū)興建了“騰越”冰雪運(yùn)動(dòng)基地。通過(guò)對(duì)來(lái)“騰越”參加冰雪運(yùn)動(dòng)的100員運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)抽樣調(diào)查，他們的身份分布如下： 注:將表中頻率視為概率。
身份 | 小學(xué)生 | 初中生 | 高中生 | 大學(xué)生 | 職工 | 合計(jì) |
人數(shù) | 40 | 20 | 10 | 20 | 10 | 100 |
對(duì)10名高中生又進(jìn)行了詳細(xì)分類如下表：
年級(jí) | 高一 | 高二 | 高三 | 合計(jì) |
人數(shù) | 4 | 4 | 2 | 10 |
(1)求來(lái)“騰越”參加冰雪運(yùn)動(dòng)的人員中高中生的概率；
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)，春節(jié)當(dāng)天來(lái)“騰越”參加冰雪運(yùn)動(dòng)的人員中，小學(xué)生是340人，估計(jì)高中生是多少人？
（3）在上表10名高中生中，從高二，高三6名學(xué)生中隨機(jī)選出2人進(jìn)行情況調(diào)查，至少有一名高三學(xué)生的概率是多少？
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