Question

（本小題滿分13分）已知且，
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
(2) 判斷函數(shù)的單調性，并證明；
（3）當函數(shù)的定義域為時,求使成立的實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）為奇函數(shù)；（2）當且時，在上是增函數(shù)；（3）。

本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．
（I）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x₁=x，x₂=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)．
（II）在R上任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，再比較f（x₁）和f（x₂）的大小，從而得出：f（x）是增函數(shù)；
（III）由得，結合上一問單調性得到求解。
解：（1）函數(shù)的定義域是,關于原點對稱
又，為奇函數(shù)……………4分
（2）函數(shù)在上為增函數(shù)
設,且，
則
當時，，，
當時，，，
當且時，在上是增函數(shù)……………9分
解法2：，當時，，，當時，， 
當且時，在上是增函數(shù)……………9分
（3）由得，
 ，……………10分  ……………11分
解得  ……………13分