Question

【題目】已知圓O：與直線相切．

（1）求圓O的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)為4，求直線l的方程；

（3）若過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為，的直線交圓O于B、C兩點(diǎn)，且，求證：直線BC恒過(guò)定點(diǎn)．并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）證明詳見解析，該點(diǎn)坐標(biāo)為．

【解析】

（1）利用圓心到直線的距離等于半徑即可求出.

（2）根據(jù)題意可得圓心到直線的距離，分類討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在，利用點(diǎn)斜式求出直線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

（3）設(shè)直線AB：，直線： ，分別與圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、，進(jìn)而求出直線BC方程，根據(jù)直線方程即可求解.

解：（1）圓O：與直線相切，

圓心到直線的距離等于半徑，即，

，

圓O的方程為；

（2）直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)為4，

圓心到直線的距離，

斜率不存在時(shí)，，滿足題意；

斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，

即，

圓心到直線的距離，，

直線l的方程為，

綜上所述，直線l的方程為或；

（3）由題意知，設(shè)直線AB：，

與圓方程聯(lián)立，消去y得：，

，，即，

設(shè)直線： ，

與圓的方程聯(lián)立，消去y得：，

，，

，用代替得：，

直線BC方程為，

令，可得，則直線BC定點(diǎn)