Question

若三個非零且互不相等的實數a，b，c滿足

1

a

+

1

b

=

2

c

，則稱a，b，c是調和的；若滿足a+c=2b，則稱a，b，c是等差的．已知集合P={a，b，c}，若P中元素a，b，c既是調和的，又是等差的，則稱集合P為“好集”．
①請寫出一個好集

 

；
②若集合M={x||x|≤2014，x∈Z}，P⊆M，則不同的“好集”P的個數為

 

．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：綜合題,新定義

分析：①利用“好集”的定義，可得（a+b）（a-2b）=0，取a=1，b=-

1

2

，則c=-2；
②由①知，分類討論，可得結論．

解答： 解：①∵

1

a

+

1

b

=

2

c

，a+c=2b，
∴

1

a

+

1

b

=

2

2b-a

，
∴（a-b）（a+2b）=0，
取a=1，b=-

1

2

，則c=-2，
∴一個好集為{1，-

1

2

，-2}；
②由①知，（1）a=-b，c=3b，即P={-b，b，3b}，∵P⊆M，∴不同的“好集”P的個數為671×2=1342；
（2）a=2b，c=0，即P={2b，b，0}，∵P⊆M，∴不同的“好集”P的個數為1007×2=2014，
∴不同的“好集”P的個數為1342+2014=3356．
故答案為：{1，-

1

2

，-2}；3356．

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．