Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是的菱形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直， 為的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）要證平面，轉(zhuǎn)證線線垂直即可；（2）分別求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量間的運(yùn)算關(guān)系求出兩個(gè)向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

試題解析：

（1）法一：作于，連接

由側(cè)面與底面垂直，則面

所以，又由， ， ，

則，即

取的中點(diǎn)，連接， 由為的中點(diǎn)，

則四邊形為平行四邊形，

所以，又在中， ，

為中點(diǎn)，所以，

所以，又由所以面.

法二: 作于，連接

由側(cè)面與底面垂直，則面

所以，又由， ， ，

則，即

分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知， ， ， ， ，

， ，

所以， ，

又由所以面.

（2）設(shè)面的法向量為

由，

，

由（I）知面，取面的法向量為

所以，設(shè)二面角大小為，由為鈍角得