【題目】平面直角坐標(biāo)系
中，經(jīng)過橢圓
： 
的一個焦點的直線
與
相交于
兩點， 
為
的中點，且
斜率是
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程；
(Ⅱ)直線
分別與橢圓
和圓
： 
相切于點
，求
的最大值.
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ)1.
【解析】試題分析：
(Ⅰ)設(shè)出點M,N的坐標(biāo)，利用點差法計算可得
，結(jié)合焦點坐標(biāo)有
，據(jù)此計算可得橢圓
的方程是
；
(Ⅱ)設(shè)
分別為直線
與橢圓和圓的切點， 
，聯(lián)立直線與橢圓的方程有
，利用判別式
，可得
， 
，直線
與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，據(jù)此可得
， 
，則
，結(jié)合絕對不等式的結(jié)論有當(dāng)
時， 
的最大值是1.
試題解析：
(Ⅰ)設(shè)
， 
，則
， 
， 
， 
，
由此可得
， 
，
又由題意知， 
的右焦點是
，故
，
因此
， 
，所以橢圓
的方程是
；
(Ⅱ)設(shè)
分別為直線
與橢圓和圓的切點， 
，
直線
的方程為： 
，代入
得
，判別式
，得
①，
， 
直線
與
相切，所以
，即
，再由①得
， 
，
，
因為
，當(dāng)
時取等號，所以
，
因此當(dāng)
時， 
的最大值是1
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】若函數(shù)
在
上存在唯一的
滿足
, 那么稱函數(shù)
是
上的“單值函數(shù)”.已知函數(shù)
是
上的“單值函數(shù)”，當(dāng)實數(shù)
取最小值時，函數(shù)
在
上恰好有兩點零點，則實數(shù)
的取值范圍是___________．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
, 
.
（1）求函數(shù)
的增區(qū)間；
（2）若函數(shù)
有兩個零點，求實數(shù)
的取值范圍，并說明理由；
（3）設(shè)正實數(shù)
， 
滿足，當(dāng)
時，求證：對任意的兩個正實數(shù)
， 
總有
.
(參考求導(dǎo)公式： 
)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面
是
的菱形，側(cè)面
是邊長為2的正三角形，且與底面垂直， 
為
的中點.
（1）求證： 
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某市根據(jù)地理位置劃分成了南北兩區(qū)，為調(diào)查該市的一種經(jīng)濟作物
（下簡稱
作物）的生長狀況，用簡單隨機抽樣方法從該市調(diào)查了 500 處 
作物種植點，其生長狀況如表：
其中生長指數(shù)的含義是：2 代表“生長良好”，1 代表“生長基本良好”，0 代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，絕收”．
（1）估計該市空氣質(zhì)量差的
作物種植點中，不絕收的種植點所占的比例；
（2）能否有 99%的把握認(rèn)為“該市
作物的種植點是否絕收與所在地域有關(guān)”？
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該市
作物的種植點中，絕收種植點的比例？請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，某生態(tài)園將一塊三角形地
的一角
開辟為水果園，已知角
為
， 
的長度均大于200米，現(xiàn)在邊界
處建圍墻，在
處圍竹籬笆.
（1）若圍墻
、
總長度為200米，如何可使得三角形地塊
面積最大？
（2）已知竹籬笆長為
米， 
段圍墻高1米， 
段圍墻高2米，造價均為每平方米100元，求圍墻總造價的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，圓
的半徑
垂直于直徑
， 
為
上一點， 
的延長線交圓
于點
，過點
的切線交
的延長線于點
，連接
.
（1）求證： 
；
（2）若
， 
，求
的長.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖
，等腰梯形
中， 
， 
于點
， 
，且
．沿
把
折起到
的位置（如圖
），使
．
（I）求證： 
平面
．
（II）求三棱錐
的體積．
（III）線段
上是否存在點
，使得
平面
，若存在，指出點
的位置并證明；若不存在，請說明理由．
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