Question

【題目】《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)是 的中點(diǎn)，連接、、.

（1）證明：平面；

（2）證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）記陽(yáng)馬的體積為，四面體的體積為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；四面體是鱉臑，四個(gè)面的直角分別是、、、；（3）.

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得到，然后再利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（2）證明出平面，可得出，再利用三線合一的性質(zhì)得出，再利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面，然后結(jié)合定義判斷出四面體是鱉臑，并寫出每個(gè)面的直角；

（3）利用錐體的體積公式計(jì)算出和的表達(dá)式，即可得出的值.

（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，

又為的中點(diǎn)，，

又平面，平面，所以平面；

（2）因?yàn)?/span>底面，平面，所以.

由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以平面.

平面，所以.

又因?yàn)?/span>，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.

而，所以平面.

由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，

即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是、、、；

（3）由已知，是陽(yáng)馬的高，所以；

由（2）知，是鱉臑的高，，

所以.

在中，因?yàn)?/span>，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，

于是 .