Question

【題目】已知橢圓，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓O在C的內(nèi)部，且與C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)與C只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F，直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)P，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）利用單位圓的性質(zhì)求得，利用直線(xiàn)和橢圓聯(lián)立方程后關(guān)于的方程只有一個(gè)解，判別式為列方程，由此求得.進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，代入橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中垂線(xiàn)的斜率列方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此求得.利用弦長(zhǎng)公式求得，進(jìn)而求得的值.

（1）依題意，得

將代入橢圓的方程，得

由，解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由（1）可得左焦點(diǎn)

由題意設(shè)直線(xiàn)的方程為，

代入橢圓方程，得

設(shè)，則

所以,AB的中點(diǎn)為

設(shè)點(diǎn)，則，

解得

所以

又

所以