Question

【題目】在圓上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)段，為垂足，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）試問(wèn)在上是否存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）設(shè)，則點(diǎn)，將代入圓，可得的方程；（2）可判斷直線(xiàn)存在斜率，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)，利用根與系數(shù)可得，依題意，可得，即，化為，由的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，可得，代入化簡(jiǎn)解出即可.

（1）設(shè)，則點(diǎn)，

將代入圓，

可得

的方程為.

（2）顯然，直線(xiàn)存在斜率，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立，消去并整理得，

,化為，

設(shè)，

則，

依題意，可得，，

又，

，

，

解得，

由的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，

，

，化為，

把代入化為，

解得（舍去）或，

，解得，

滿(mǎn)足，即滿(mǎn)足，

在上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),且以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為.