Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點是，左右頂點是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點P、Q(不是左、右頂點)，且的周長是，

直線與交于點M.

(1)求橢圓的方程；

(2)(ⅰ)求證直線與交點M在一條定直線l上；

(ⅱ)N是定直線l上的一點，且PN平行于x軸，證明：是定值．

Answer 1

【答案】(1)(2) (ⅰ)見證明；(ⅱ)見證明

【解析】

(1)由題意可得，可以求出，，從而求出橢圓的方程；(2)(ⅰ)由點斜式分別寫出與的方程，兩式子消去，根據(jù)韋達(dá)定理可得，的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而可以得到點M在一條定直線x＝2上；(ⅱ)由于，結(jié)合點P在橢圓上，可以求出為定值。

(1)設(shè)橢圓的焦距是2c，

據(jù)題意有：，，，則，

所以橢圓的方程是.

(2) (ⅰ)由(1)知，，，

設(shè)直線PQ的方程是，

代入橢圓方程得：，

易知，

設(shè)，，，

則

，

直線的方程是： ①，

直線的方程是： ②，

設(shè)，既滿足①也滿足②，

則

，

故直線與交點M在一條定直線l：x＝2上.

(ⅱ)設(shè)，，，則，

∴.