已知

為函數(shù)

圖象上一點,

為坐標原點,記直線

的斜率

.
(1)若函數(shù)

在區(qū)間


上存在極值,求實數(shù)

的取值范圍;
(2)當

時,不等式

恒成立,求實數(shù)

的取值范圍;
(3)求證:

.
(1)

;(2)

;(3)證明過程詳見解析.
試題分析:本題主要考查導數(shù)的應用、不等式、數(shù)列等基礎知識,考查思維能力、運算能力和思維的嚴謹性.第一問,考查求導求極值問題;第二問,是恒成立問題,將第一問的

代入,整理表達式,得出

,構造函數(shù)

,下面的主要任務是求出函數(shù)

的最小值,所以

;第三問,是不等式的證明,先利用放縮法構造出所證不等式的形式,構造數(shù)列,利用累加法得到所證不等式的左邊,右邊利用裂項相消法求和,再次利用放縮法得到結論.
試題解析:(1)由題意

,

,所以

2分
當

時,

;當

時,

.
所以

在

上單調遞增,在

上單調遞減,故

在

處取得極大值.
因為函數(shù)

在區(qū)間

(其中

)上存在極值,
所以

,得

.即實數(shù)

的取值范圍是

. 4分
(2)由

得

,令

,
則

. 6分
令

,則

,
因為

所以

,故

在

上單調遞增. 8分
所以

,從而


在

上單調遞增,

所以實數(shù)

的取值范圍是

. 10分
(3)由(2) 知

恒成立,
即

12分
令

則

, 14分
所以

,

, ,

.
將以上

個式子相加得:


,
故

. 16分
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
若定義在

上的函數(shù)

同時滿足:①

;②

;③若

,且

,則

成立.則稱函數(shù)

為“夢函數(shù)”.
(1)試驗證

在區(qū)間

上是否為“夢函數(shù)”;
(2)若函數(shù)

為“夢函數(shù)”,求

的最值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
設

,且方程

有兩個不同的實數(shù)根,則這兩個實根的和為
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
若存在正數(shù)

,使

成立,則實數(shù)

的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知定義在R上的函數(shù)

對任意的

都滿足

,當

時,

,若函數(shù)

至少6個零點,則

取值范圍是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若函數(shù)

在其定義域內的一個子區(qū)間(k-1,k+1)內不是單調函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
定義在

上的函數(shù)

滿足

.若當

時.

,則當

時,

=
.
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