Question

在平面直角坐標(biāo)系x0y中，圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,直線與圓

分析：將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出圓心C的坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，得到以C為圓心，2為半徑的圓與直線y=kx-2有公共點(diǎn)，即圓心到直線y=kx-2的距離小于等于2，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范圍．

解答： 解：將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-4）²+y²=1，
∴圓心C（4，0），半徑r=1，
∵直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，
∴只需圓C′：（x-4）²+y²=4與y=kx-2有公共點(diǎn)，
∵圓心（4，0）到直線y=kx-2的距離d=

|4k-2|

k2+1

≤2，
解得：0≤k≤

4

3

．
故答案為：[0，

3

4

]．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，其中當(dāng)d＜r時，直線與圓相交；當(dāng)d＞r時，直線與圓相離；當(dāng)d=r時，直線與圓相切（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．