Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)F在直線上，平行于x軸的兩條直線，分別交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交該拋物線的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程；

（2）若F在線段上，P是的中點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)在直線上，可求得的值，從而求得拋物線的方程；

（2）法一：設(shè)直線，的方程分別為和且，，，可得，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程，根據(jù)在直線上，可得，再分別求得，，即可得證；法二：設(shè)，，則，根據(jù)直線的斜率不為0，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求出，，化簡(jiǎn)，即可得證.

（1）拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且該點(diǎn)在直線上，

所以，解得，故所求拋物線C的方程為

（2）法一：由點(diǎn)F在線段上，可設(shè)直線，的方程分別為和且，，，則，，，.

∴直線的方程為，即.

又點(diǎn)在線段上，∴.

∵P是的中點(diǎn)，∴

∴，.

由于，不重合，所以

法二：設(shè)，，則

當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不符合題意，故可設(shè)直線的方程為

聯(lián)立直線和拋物線的方程，得

又，為該方程兩根，所以，，，.

，

由于，不重合，所以