Question

【題目】如圖，已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線l的方程為，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于點(diǎn)A，B（不與點(diǎn)重合）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線AB的傾斜角為45°時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；

（3）設(shè)直線交l于點(diǎn)M，求證：B，，M三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意結(jié)合橢圓性質(zhì)可得、，即可得解；

（2）由題意直線，設(shè)，，聯(lián)立方程組可得，，再利用弦長(zhǎng)公式即可得解；

（3）設(shè)直線，，，易得，轉(zhuǎn)化結(jié)論為證明成立，聯(lián)立方程組即可得，，進(jìn)而可得，即可得證.

（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c．由題意得．

又右準(zhǔn)線l的方程為，所以，

所以，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

（2）設(shè)，，

因?yàn)橹本�的傾斜角為且過(guò)點(diǎn)，

所以直線，

聯(lián)立，消去得，，

所以，，

所以；

（3）由題意可得，，

因?yàn)橹本�AB的斜率不為0，

所以設(shè)直線，，，

則直線，令，得，所以；

要證，，三點(diǎn)共線，只需證，

即證，即證；

聯(lián)立，消去x得，，

所以，，

所以，

所以，，三點(diǎn)共線．