Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，且、、成等差數(shù)列.

（1）求的頂點(diǎn)的軌跡方程；

（2）直線與頂點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在直線上時(shí)，試問：線段的垂直平分線是否恒過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）恒過定點(diǎn)；定點(diǎn)

【解析】

（1）由正弦定理，結(jié)合橢圓定義，即可容易求得軌跡方程；

（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)其縱坐標(biāo)為，即可求得的等量關(guān)系，再求出直線垂直平分線的方程，再求直線恒過的定點(diǎn)即可.

（1）在中，，

根據(jù)正弦定理，可得，且，

由橢圓定義，可知頂點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)，

以為焦點(diǎn)的橢圓（不包括與軸交點(diǎn)）.

，，，

軌跡方程為.

（2）設(shè)，，

由，得，

，

，，

點(diǎn)落在直線上，

，，

，，

線段的垂直平分線方程為，即，

線段的垂直平分線恒過定點(diǎn).