Question

【題目】如圖，已知的兩頂點坐標，，圓是的內切圓，在邊，，上的切點分別為，，，．

（Ⅰ）求證：為定值，并求出動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過的斜率不為零直線交曲線于、兩點，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明詳見解析，曲線的方程為；（Ⅱ）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）利用切線長相等可求得；根據(jù)橢圓定義可知動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓（不含橢圓與軸的交點），進而求得結果；

（Ⅱ）設的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，利用弦長公式求得，根據(jù)平面向量數(shù)量積運算求得，進而求得.

（Ⅰ）由題意得：，，

，

，

動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓（不含橢圓與軸的交點），

設曲線方程為：，

則，解得：，又，，

曲線的方程為；

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：，設，，

直線的斜率不為零，可設的方程為，

聯(lián)立消去并整理得：，

則，

，，

，

，

，，

綜上可得：為定值．