Question

【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年，在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du)；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉膈(bie nao)指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中，，.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①四棱錐為陽馬；

②直線與平面所成角為；

③當(dāng)時(shí)，異面直線與所成的角的余弦值為；

④當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，四棱錐的外接球的表面積為.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

對(duì)于①，由塹堵的性質(zhì)得，則可證平面，即四棱錐為陽馬；

對(duì)于②，可知為直線與平面所成角，通過分析②不正確；

對(duì)于③，可知為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角)，由余弦定理得其余弦值為；

對(duì)于④，三棱錐體積為，由基本不等式可知時(shí)，最大，故可將三棱柱補(bǔ)成長方體，則長方體的外接球與四棱錐的外接球?yàn)橥�一個(gè)球，從而可求出四棱錐的外接球的表面積.

對(duì)于①，因?yàn)樵谌�棱�?/span>中，平面，∴，又，∴平面，即四棱錐為陽馬；故①正確；

對(duì)于②，由①可知平面，∴為直線與平面所成角，

假如，則為等腰直角三角形，所以，這與在中矛盾；故②不正確；

對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，，，，

∵，∴為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角)，

在中，，故③正確；

對(duì)于④，三棱錐體積為，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”，現(xiàn)將三棱柱補(bǔ)成長方體，

則長方體的外接球與四棱錐的外接球?yàn)橥�一個(gè)球，

所以球的直徑，所以，故④正確.

故答案為：①③④