Question

已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)。
（I）證明：；
（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。

Answer 1

(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)單調(diào)性，以及桉樹的極值，進(jìn)而證明。
(2) 當(dāng)時(shí)，所以且
即故或反之, 當(dāng)或時(shí)，
總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

試題分析：解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn),
所以有三個(gè)互異的實(shí)根.  
設(shè)則
當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù);
當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù);
當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù);
所以函數(shù)在時(shí)取極大值,在時(shí)取極小值.  （3分）
當(dāng)或時(shí),最多只有兩個(gè)不同實(shí)根.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005440134518.png" style="vertical-align:middle;" />有三個(gè)不同實(shí)根, 所以且.
即,且,
解得且故.                 （5分）
（II）由（I）的證明可知，當(dāng)時(shí), 有三個(gè)極值點(diǎn).
不妨設(shè)為（），則
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,
若在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則, 或,
若,則.由（I）知，,于是
若,則且.由（I）知，
又當(dāng)時(shí)，;
因此, 當(dāng)時(shí)，所以且
即故或反之, 當(dāng)或時(shí)，
總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.             （10分）
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題。