Question

如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱中,底面,,,．

(Ⅰ)求證:平面平面；
(Ⅱ)若,求四棱錐的體積．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）由,,，易得，從而平面，
由此可得平面平面．
(Ⅱ)思路一、由（Ⅰ）知，平面，所以，即是一個(gè)直角三角形，這樣可得四邊形的面積.
又平面平面，所以過D作的垂線，該垂線即垂直于平面，由此可得該棱錐的高，從而求得其體積.
思路二、將四棱錐分割為以下兩部分：三棱錐和，這兩個(gè)三棱錐的體積相等，我們可先求其中的一個(gè). 而三棱錐即為三棱錐，這個(gè)三棱錐的體積就很易求了.
試題解析：（Ⅰ）證明：在中,由余弦定理得：，
所以,所以,即，                 3分
又四邊形為平行四邊形,所以，又底面,底面,所以，
又,所以平面,                  5分
又平面,所以平面平面．         6分
(Ⅱ)法一：連結(jié)，∵，∴

∵平面，所以，                   8分
所以四邊形的面積，                 10分
取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，
又平面平面,平面平面，
所以平面，
所以四棱錐的體積：．                   12分
法二: 四棱錐