設(shè)函數(shù)f(x)=x
2+aln(x+1)有兩個極值點x
1,x
2,且x
1<x
2.
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當a=

時,判斷方程f(x)=-

的實數(shù)根的個數(shù),并說明理由.
(1)0<a<

(2)方程f(x)=-

有且只有一個實數(shù)根
(1)由f(x)=x
2+aln(x+1),可得f′(x)=2x+

(x>-1).
令g(x)=2x
2+2x+a(x>-1),則其對稱軸為x=-

.由題意可知x
1,x
2是方程g(x)=0的兩個均大于-1的不相等的實數(shù)根,其充要條件為

解得0<a<

.
(2)由a=

可知x
1=-

,x
2=-

,從而易知函數(shù)y=f(x)在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增.
①由y=f(x)在

上單調(diào)遞增,且f

=

+

·ln

=

-

ln 2>-

,以及f

=

+

·ln

=-

-

+

<-

,故方程f(x)=-

在

有且只有一個實根;
②由于y=f(x)在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增,因此f(x)在

上的最小值f

=

+

·ln

=

+

ln

>-

,故方程f(x)=-

在

上沒有實數(shù)根.
綜上可知,方程f(x)=-

有且只有一個實數(shù)根
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

,

(

,

).
(1)判斷曲線

在點(1,

)處的切線與曲線

的公共點個數(shù);
(2)當

時,若函數(shù)

有兩個零點,求

的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x
3+x-16.
(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線方程.
(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-

x+3垂直,求切點坐標與切線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若函數(shù)

在R上可導(dǎo),且

,則( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若

在區(qū)間

上有極值點,則實數(shù)

的取值范圍是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈R的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且f(x)=f(-x),f′(x)<f(x).則下列三個數(shù):ef(2),f(3),e2f(-1)從小到大依次排列為__________________.(e為自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=

x
3+ax
2+bx(a,b∈R).
(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(1)=

,且函數(shù)f(x)在

上不存在極值點,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
一個球的體積、表面積分別為
V,
S,若函數(shù)
V=
f(
S),
f′(
S)是
f(
S)的導(dǎo)函數(shù),則
f′(π)=( )
A. | B. | C.1 | D.π |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對一切x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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