Question

已知函數(shù)，（，）．
（1）判斷曲線在點（1，）處的切線與曲線的公共點個數(shù)；
（2）當時，若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

（1）當△>時，即或時，有兩個公共點；
當△=時，即或時，有一個公共點；
當△<時,即時，沒有公共點 .
（2）當時，函數(shù)有兩個零點.

試題分析：（1）求導數(shù)得切線的斜率，由直線方程的點斜式，得到曲線在點（1，）處的切線方程為；
由，利用一元二次方程根的判別式討論得解.
（2）為討論=的零點，
令得到，
因此可令，利用導數(shù)知識，討論起最大值、最小值即得所求.
試題解析：（1），所以斜率                     2分
又，曲線在點（1，）處的切線方程為        3分
由                     4分
由△=可知：
當△>時，即或時，有兩個公共點；
當△=時，即或時，有一個公共點；
當△<時,即時，沒有公共點                           7分
（2）=，
由得                                      8分
令，則    
當，由得                          10分
所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增                 
因此，                                          11分
由，比較可知
所以，當時，函數(shù)有兩個零點.          14分