Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線： （t為參數(shù)）與曲線C： （θ為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）若α= ，求線段AB的長(zhǎng)度；
（2）若直線的斜率為 ，且有已知點(diǎn)P（2， ），求證：|PA||PB|=|OP|2 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由曲線C： （θ為參數(shù)），可得C的普通方程是 =1．

當(dāng) 時(shí)，直線方程為： （t為參數(shù)），

代入曲線C的普通方程，得13t2+56t+48=0，

則線段AB的長(zhǎng)度為

（2）

證明：將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，

化為：（cos2α+4sin2α）t2+（8 sinα+4cosα）t+12=0，

∵ ，

而直線的斜率為 ，則 代入上式求得|PA||PB|=7．

又 ，

∴|PA||PB|=|OP|2

【解析】（1）由曲線C： （θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得C的普通方程．當(dāng) 時(shí)，直線方程為： （t為參數(shù)），代入代入曲線C的普通方程，得13t2+56t+48=0，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式即可得出．（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，化為：（cos2α+4sin2α）t2+（8 sinα+4cosα）t+12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．