Question

下列命題：
①?x∈R，使f（x）=（m-1）x m2-4m+3 是冪函數；且在（0，+∞）上遞減；
②若0＜log_a²＜log_b²，則a＞b＞1；
③已知a，b∈R^*，2a+b=1，則

2

a

+

1

b

有最小值8；
④已知向量

a

=（1，2），

b

=（2，0），若向量λ

a

+

b

與向量

c

=（1，-2）垂直，則實數λ等于-1．
其中，正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：根據冪函數的圖象和性質，可判斷①；根據對數的運算性質和對數函數的單調性，可判斷②；根據基本不等式，求出

2

a

+

1

b

的最小值，可判斷③；根據向量垂直的充要條件，可判斷④．

解答： 解：當m=2時，f（x）=x^-1是冪函數；且在（0，+∞）上遞減，故①正確；
若0＜log_a2＜log_b2，則若0=log₂1＜log₂b＜log₂a，即a＞b＞1，故②正確；
∵a，b∈R^*，2a+b=1，∴

2

a

+

1

b

=（

2

a

+

1

b

）（2a+b）=4+1+

2b

a

+

2a

b

≥5+4=9，當且僅當a=b=

1

3

時取等，故

2

a

+

1

b

有最小值為9，故③錯誤；
∵向量

a

=（1，2），

b

=（2，0），∴λ

a

+

b

=（λ+2，2λ），若向量λ

a

+

b

與向量

c

=（1，-2）垂直，則λ+2-2×2λ=0，即λ=

2

3

，故④錯誤；
故正確的命題為：①②，
故答案為：①②

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了冪函數，對數運算，基本不等式，向量垂直等知識點，難度不大，屬于基礎題．