Question

在△ABC中，角A，B，C對邊分別是a，b，c，c=2，C=

π

3

，若sinC+sin（B-A）=2sin2A，則△ABC的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理

專題：解三角形

分析：依題意，可求得B-A=

2π

3

-2A，利用兩角差的正弦可求得sin（2A-

π

6

）=

1

2

，又A∈（0，

2π

3

），可求得A=

π

6

或A=

π

2

，分類討論即可求得△ABC的面積．

解答： 解：∵在△ABC中，C=

π

3

，
∴B=

2π

3

-A，B-A=

2π

3

-2A，
∴sinC+sin（

2π

3

-2A）=2sin2A，
即sinC+

3

2

cos2A+

1

2

sin2A=2sin2A，
整理得：

3

sin（2A-

π

6

）=sinC=

3

2

，
∴sin（2A-

π

6

）=

1

2

，又A∈（0，

2π

3

），
∴2A-

π

6

=

π

6

或2A-

π

6

=

5π

6

，
解得A=

π

6

或A=

π

2

，
當(dāng)A=

π

6

時，B=

π

2

，tanC=

c

a

=

2

a

=

3

，解得a=

2

3

=

2 3

3

，
∴S_△ABC=

1

2

ac=

1

2

×

2 3

3

×2=

2 3

3

；
當(dāng)A=

π

2

時，B=

π

6

，同理可得S_△ABC=

2 3

3

；
故答案為：

2 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查正弦定理的應(yīng)用，求得B-A=

2π

3

-2A是解決問題的基礎(chǔ)，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．