Question

【題目】若橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)中，存在不共線的三點(diǎn)恰為菱形的中心和頂點(diǎn)，則的離心率等于（ ）

A.B.C.或D.或

Answer 1

【答案】D

【解析】

由菱形對(duì)角線互相垂直可轉(zhuǎn)化為，在橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)中找到不共線的三點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性，只須考慮三種情況，作出圖形，從而求得橢圓的離心率.

依題意，由菱形對(duì)角線互相垂直可轉(zhuǎn)化為，在橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)中找到不共線的三點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性，只須考慮三種情況：

（1）如圖1，若以頂點(diǎn)焦點(diǎn)為菱形頂點(diǎn)，為中心，則，由勾股定理得，，由化簡(jiǎn)得，

兩邊同除以，得，又因?yàn)?/span>，可得．

（2）如圖2，若以焦點(diǎn),為菱形頂點(diǎn)，為中心，則，故，易得；

（3）如圖3，若以焦點(diǎn)為菱形的中心，,為頂點(diǎn)，則，易得，故選D.