【題目】已知函數(shù)
（1）當(dāng)
時，證明：
；
（2）若
在
上有且只有一個零點，求
的取值范圍．
【答案】（1）見解析； （2）
.
【解析】
(1) 將
的值代入，再求出函數(shù)
的最小值，即可證明；
(2)對進行分類討論，當(dāng)
可得函數(shù)
有無數(shù)個零點，
求導(dǎo)數(shù)
，確定為負故符合題意，當(dāng)
時，求導(dǎo)函數(shù)，對導(dǎo)數(shù)再求一次導(dǎo)，再對進行分類討論，同時利用奇偶性可得當(dāng)
時在
上有且只有一個零點，當(dāng)
時，利用零點定理取一個特值，判斷出不合題意，得出的取值范圍.
（1）當(dāng)
時，
，
所以的定義域為R,且
故為偶函數(shù)．
當(dāng)
時,
，
記
，所以
．
因為
，所以
在
上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞增，
故
，
所以在上單調(diào)遞增，所以
，
因為為偶函數(shù),所以當(dāng)
時,
.
（2）①當(dāng)時，
，令
，解得
，
所以函數(shù)有無數(shù)個零點，不符合題意；
②當(dāng)時，
，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立，故符合題意；
③因為
，所以是偶函數(shù)，
又因為
，故是的零點.
當(dāng)時，
，記
，則
.
1）當(dāng)時，
，
故在
單調(diào)遞增，故當(dāng)
時，
即
，
故在單調(diào)遞增，故
所以在沒有零點.
因為是偶函數(shù),所以在上有且只有一個零點.
2）當(dāng)時，當(dāng)
時，存在
，使得
，且當(dāng)
時，單調(diào)遞減，故
，
即
時，
，故在
單調(diào)遞減，
，
又
，所以
，
由零點存在性定理知在
上有零點，又因為是的零點，
故不符合題意；
綜上所述，a的取值范圍為
口算小狀元口算速算天天練系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
（
、
為實常數(shù)）.
（1）當(dāng)
時，證明：
不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)是奇函數(shù)，求與的值；
（3）當(dāng)是奇函數(shù)時，研究是否存在這樣的實數(shù)集的子集
，對任何屬于的
、
，都有
成立？若存在試找出所有這樣的；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，以O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系圓C的極坐標(biāo)方程為
，直線
的參數(shù)方程為
（t為參數(shù)），直線和圓C交于A，B兩點，P是圓C上不同于A，B的任意一點.
（1）求圓C及直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）求
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
，且
在
上存在零點，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若對任意
，存在
使
，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）若存在實數(shù)，使得當(dāng)
時，
恒成立，求實數(shù)的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，整個圖形是一個圓形，其中黑色陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的邊界為一個半圓．給出以下命題：
①在太極圖中隨機取一點，此點取自黑色陰影部分的概率是
；
②當(dāng)
時，直線
與黑色陰影部分有公共點；
③黑色陰影部分中一點
,則
的最大值為2．
其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A.①B.②C.①③D.①②
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，直三棱柱
的底面
是等腰直角三角形，
，側(cè)棱
底面
，且
，
是
的中點．
（1）求直三棱柱的全面積；
（2）求異面直線
與
所成角
的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)集合
、
均為實數(shù)集
的子集，記：
；
（1）已知
，
，試用列舉法表示
；
（2）設(shè)
，當(dāng)
，且
時，曲線
的焦距為
，如果
，
，設(shè)中的所有元素之和為
，對于滿足
，且
的任意正整數(shù)
、
、
，不等式
恒成立，求實數(shù)
的最大值；
（3）若整數(shù)集合
，則稱
為“自生集”，若任意一個正整數(shù)均為整數(shù)集合
的某個非空有限子集中所有元素的和，則稱為“
的基底集”，問：是否存在一個整數(shù)集合既是自生集又是的基底集？請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
過點
，過坐標(biāo)原點
作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于
，
兩點.
（1）證明：當(dāng)
取得最小值時，橢圓的離心率為
.
（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線
總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.
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