Question

【題目】如圖，在矩形中，AB=2AD，為DC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM.

（1）當(dāng)AB=2時(shí)，求三棱錐的體積；

（2）求證：BM⊥AD.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）取AM的中點(diǎn)N，連接DN，易證得DN⊥平面ABCM，由，只需計(jì)算和即可；

（2）可證BM⊥DN和BM⊥AM，從而證得BM⊥平面ADM，從而得證.

試題解析：

（1）取AM的中點(diǎn)N，連接DN.

∵在矩形中，為DC的中點(diǎn)，AB=2AD，∴DM=AD.

又N為AM的中點(diǎn)，∴DN⊥AM.

又∵平面ADM⊥平面ABCM，平面，平面ADM，

∴DN⊥平面ABCM.

∵AD=1，∴.

又，∴.

證明：（2）由（1）可知，DN⊥平面ABCM.

又平面ABCM，∴BM⊥DN.

在矩形中，AB=2AD，M為MC中點(diǎn)，

∴△ADM，△BCM都是等腰直角三角形，且∠ADM=90°，∠BCM=90°，∴BM⊥AM.

又DN，平面ADM，，∴BM⊥平面ADM.

又平面ADM，∴BM⊥AD.