Question

【題目】函數(shù).

（1）若，，討論函數(shù)的零點個數(shù)情況；

（2）若，對于，存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)或時，函數(shù) 有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；(2).

【解析】

（1）分離參數(shù)，將函數(shù)零點個數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點的問題，通過求解函數(shù)單調(diào)性和值域，得出結(jié)論；

（2）分離參數(shù)，將能成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的問題，再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的值域即可.

（1）當(dāng)時，，定義域為

令，即，等價于

令，則，令，解得

故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增.

故.

又當(dāng)趨近于0時，趨近于正無窮；

當(dāng)時，，且趨近于0，

據(jù)此，畫出函數(shù)的示意圖如下：

結(jié)合圖像，以及函數(shù)單調(diào)性可知：

當(dāng)或時，函數(shù) 有一個零點；

當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；

當(dāng)時，函數(shù)沒有零點.

（2）當(dāng)時，

存在,等價于存在, ，且

等價于存在時，能成立，

且存在使得能成立.

因為是單調(diào)減函數(shù)，故能成立，

等價于

即；

令，故

令，解得或(舍)

故當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增

故，又，

因為，故當(dāng)時，

故要使得當(dāng)時，存在，使得成立

只需，又因為

故可得.