Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，二面角的大小為120°，點在棱上，且，點為的重心.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，并延長與相交于點，連接，可證得，從而得證；

（2）過點在中作，與相交于點，可得，以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求平面的法向量和平面的一個法向量為，再求得，進而利用同角三角函數關系即可得解.

（1）證明：連接，并延長與相交于點，連接，

因為點為的重心，所以，

在中，有，

所以，

則平面，平面，

所以平面；

（2）解：過點在中作，與相交于點，因為，，則為二面角的平面角，則。

以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，，，則，，，，

所以

記平面的法向量，

則

令，得到平面的一個法向量，

設平面的一個法向量為，

則，

令，得到平面的一個法向量，

，

設二面角的平面角為，則，

即二面角的正弦值為.