Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，平面ADE⊥平面CDEF，∠ADE＝60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝4，點G是棱CF上的動點．

（Ⅰ）當CG＝3時，求證EG∥平面ABF；

（Ⅱ）求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值為，求線段CG的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（1）通過證明直線AB∥EG，從而由線線平行推證線面平行；

（2）過A作DE垂線AO，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量以及直線的方向向量，從而求解線面角的正弦值；

（3）由（2）中所建的直角坐標系，根據(jù)二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值，求得G點的坐標，即可求得CG的長度.

（Ⅰ）證明：由已知得CG∥DE且CG＝DE，

故四邊形CDEG為平行四邊形，

∴CD∥EG，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴CD∥AB，∴AB∥EG，

又EG平面ABF，AB平面ABF，

∴EG∥平面ABF．

（Ⅱ）過點A作AO⊥DE交DE于點O，過點O作OK∥CD交CF于點K

由（1）知平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE，AO平面ADE，

∴AO⊥平面CDEF，∵CD⊥DE，∴OK⊥DE，以O為原點建立如圖的空間直角坐標系，

則D（0，﹣1，0），E（0，2，0），C（3，﹣1，0），

F（3，3，0），，D（0，﹣1，0），

∴

設(shè)平面ABCD的法向量為，

即，令z＝﹣1，則，

，

∴直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為，

（Ⅲ）由題意得，G（3，4λ﹣1，0）．

∴，

設(shè)平面AEG的法向量為，即，

令y＝3，則，x＝3﹣4λ，

∴，

容易得平面AED的法向量為，

故可得，

解得，

∴，∴|CG|＝λ|CF|＝4λ，

∵|CG|≤4，

∴．