Question

【題目】已知拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為，為過焦點(diǎn)的拋物線的弦，過分別作拋物線的切線，，設(shè)，相交于點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）如果圓的方程為，且點(diǎn)在圓內(nèi)部，設(shè)直線與相交于，兩點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）0（2）

【解析】

（1）設(shè)，，設(shè)的方程為，代入拋物線方程得，得到，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解切線的斜率，即可得出結(jié)果．

（2）由（1）知， 以及在點(diǎn)，處的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，得到交點(diǎn)．由點(diǎn)在圓內(nèi)，得到，再求出弦長，求出到直線的距離，利用構(gòu)造法結(jié)合基本不等式求解最小值即可．

（1）設(shè)，，因?yàn)?/span>，

所以設(shè)的方程為，

代入拋物線方程得，從而，，

又由得，所以，，

因此，即，

所以．

（2）由（1）知，在點(diǎn)，處的切線方程分別為，，由兩切線方程聯(lián)立，解得：交點(diǎn)．

由點(diǎn)在圓內(nèi)，得，

又因?yàn)?/span>，，其中為到直線的距離．

所以．

又的方程為，所以，

令，由得．又由，所以，

從而．

所以，當(dāng)時，．