Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），把曲線橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，得到曲線，直線的普通方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；

（1）求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（2）記射線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）直線的極坐標(biāo)方程： ；曲線的普通方程為：（2）

【解析】

（1）利用化直線的直角方程為極坐標(biāo)方程，先消參數(shù)得曲線的普通方程，再根據(jù)變換得結(jié)果，（2）將直角方程化為極坐標(biāo)方程，再代入，解得，，即得結(jié)果.

（1）將代人直線的方程，得：，化簡(jiǎn)得直線的極坐標(biāo)方程：

由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)得曲線的普通方程為：，

經(jīng)過(guò)伸縮變換得代入

得：，

即，

故曲線的普通方程為：

（2）由（1）將曲線的普通方程化為極坐標(biāo)方程：，

將代人得，

將代入得：，

故.