Question

【題目】已知雙曲線與橢圓有相同的焦點.

求雙曲線的方程；

以為中點作雙曲線的一條弦，求弦所在直線的方程.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)橢圓的方程和題意，得到雙曲線的焦點坐標(biāo)，求出，再由等軸雙曲線的性質(zhì)，以及，即可求出結(jié)果；

先討論所在直線斜率不存在時，根據(jù)題意，可直接排除；再討論所在直線斜率存在時，聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及中點坐標(biāo)公式，即可求出結(jié)果.

由已知橢圓

得雙曲線的焦點為，即，

由等軸雙曲線的性質(zhì)及，

則

所求雙曲線的方程為

當(dāng)所在直線斜率不存在時，由對稱性可知，中點不可為，

故此時不滿足題意;

當(dāng)所在直線斜率存在時，設(shè)所在直線的方程為，

聯(lián)立方程組得

①

點在所在的直線上，即 ②.

聯(lián)立①②兩式，解得，

經(jīng)檢驗，直線方程即為所求.