Question

【題目】將這個(gè)自然數(shù)隨機(jī)地排列在的正方形方格內(nèi)，對(duì)于同一行或同一列中的任意兩個(gè)數(shù)，計(jì)算較大數(shù)與較小數(shù)的商，得到個(gè)分?jǐn)?shù).把最小的分?jǐn)?shù)稱之為這種排列的“特征值”.試求特征值的最大值.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先證明：對(duì)任一排列，其特征值.

如果個(gè)自然數(shù)，，，中有兩個(gè)在某行或某列中，則.

其中，、是該行或列中的兩個(gè)數(shù)，且.

如果所有這個(gè)大數(shù)在不同的行及列中，則必與它們中的兩個(gè)數(shù)、分別在同一行、同一列中，有，

其中，為、中較小的一個(gè).

對(duì)于排列有.

事實(shí)上，在同一行的任意兩個(gè)數(shù)的差是的倍數(shù).因此，.

在第一列，可得公差為的等差數(shù)列

.

故.

當(dāng)時(shí)，上式最后一個(gè)等號(hào)成立.

在列，從小到大排列為，，，，，，，，

其中，前項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列，后項(xiàng)仍是公差為的等差數(shù)列，第項(xiàng)與第項(xiàng)的差為.

于是，.

當(dāng)時(shí)，上式最后一個(gè)等號(hào)成立.

在第列，當(dāng)時(shí)，.

因此，的最大值為.