Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）

【解析】

（1）分兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）根據(jù)（1）可知且，后者可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，再根據(jù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知當(dāng)時函數(shù)確有兩個不同的零點(diǎn).

（1）解：因?yàn)?/span>，

①當(dāng)時，總有，

所以在上單調(diào)遞減.

②當(dāng)時，令，解得.

故時，，所以在上單調(diào)遞增.

同理時，有，所以在上單調(diào)遞減.

（2）由（1）知當(dāng)時，單調(diào)遞減，

所以函數(shù)至多有一個零點(diǎn)，不符合已知條件，

由（1）知當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，解得，從而.

又時，有，因?yàn)?/span>，，

令，則，

所以在為增函數(shù)，故，

所以，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知：

在內(nèi)有一個零點(diǎn)，在內(nèi)有一個零點(diǎn)，

故當(dāng)函數(shù)有個零點(diǎn)時，的取值范圍為.