Question

【題目】如圖，某廣場中間有一塊邊長為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，∠ABC= ．管理部門欲在該地從M到D修建小路：在 上選一點(diǎn)P（異于M，N兩點(diǎn)），過點(diǎn)P修建與BC平行的小路PQ．

（1）若∠PBC= ，求PQ的長度；
（2）當(dāng)點(diǎn)P選擇在何處時(shí)，才能使得修建的小路 與PQ及QD的總長最��？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解．如圖示：

，

連接BP，過P作PP1⊥BC，垂足為P1，過Q作QQ1⊥BC垂足為Q1，

在Rt△PBP1中， ，PQ=1

（2）解．設(shè)∠PBP1=θ， ，

∴ ，

在Rt△QBQ1中， ，

∴總路徑長f（θ）= ﹣θ+4﹣cosθ﹣ sinθ，（0＜θ＜ ），

f′（θ）=sinθ﹣ cosθ﹣1=2sin（θ﹣ ）﹣1，

令f'（θ）=0， ，

當(dāng) 時(shí)，f'（θ）＜0，

當(dāng) 時(shí)，f'（θ）＞0，

所以當(dāng) 時(shí)，總路徑最短．

答：當(dāng)BP⊥BC時(shí)，總路徑最短

【解析】（1）作出輔助線，根據(jù)梯形的性質(zhì)求出PQ的長即可；（2）設(shè)∠PBP1=θ，求出PQ的長，得到總路徑長f（θ）的表達(dá)式，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出去最小值時(shí)θ的值，即P點(diǎn)的位置即可．