Question

【題目】已知圓和定點(diǎn)，其中點(diǎn)是該圓的圓心，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)曲線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上異于的任意一點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，．證明：是定值；

（3）設(shè)點(diǎn)是曲線上另一個(gè)異于的點(diǎn)，且直線與的斜率滿足，試探究：直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出該定點(diǎn)，如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）是，.

【解析】

（1）利用橢圓的定義可求曲線的軌跡方程.

（2）設(shè)，算出，后計(jì)算，利用在橢圓上化簡可得定值.

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可得，因此，從而．直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)的方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理化簡可得，從而得到直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)可驗(yàn)證直線也過這個(gè)定點(diǎn)．

（1）依題意可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

因?yàn)榫�段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以，

動(dòng)點(diǎn)始終滿足，故動(dòng)點(diǎn)滿足橢圓的定義,

因此，解得，∴橢圓的方程為.

（2），設(shè)，則；

（3），由（2）中的結(jié)論可知，

所以，即，故.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)的方程為，

由可得，

則（*），，

將（*）式代入可得，即，

亦即.或.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線恒過定點(diǎn)（舍）；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線恒過定點(diǎn)；

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，可知直線也恒過定點(diǎn)；

綜上所述，直線恒過定點(diǎn).