Question

【題目】已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．點(diǎn)的軌跡是曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若，是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，證明：直線過(guò)定點(diǎn)；

（3）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 直線過(guò)定點(diǎn)；(3)

【解析】

(1)設(shè)出動(dòng)點(diǎn),則的坐標(biāo)可表示出,利用,可求得的關(guān)系式,即的軌跡方程．

(2)設(shè)直線 ,聯(lián)立直線與(1)中所得拋物線的方程,利用韋達(dá)定理表示,進(jìn)而求得即可.

(3)設(shè)出直線的方程,A,B的坐標(biāo),根據(jù)推斷出,把直線與拋物線方程聯(lián)立消去求得的表達(dá)式,進(jìn)而求得,利用弦長(zhǎng)公式表示出,再根據(jù)的范圍,求得的范圍．

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn),則,,

∵,即,化簡(jiǎn)得.

(2)設(shè)直線 ,聯(lián)立.

設(shè),則,.

又,故由題有,即.

由題意可知,故.故直線 ,恒過(guò)定點(diǎn).

(3)設(shè)直線方程為,與拋物線交于點(diǎn),

則由,得,即,

∴,解得,

由,

∴,

當(dāng)恒成立,

.

由題意,,

可得,

即,

因?yàn)?/span>,故

解得,

∴或.

即所求的取值范圍是.