Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）求在上的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當(dāng)時，證明：在上存在最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式得直線方程，（Ⅱ）先求導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，即得單調(diào)區(qū)間，（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)確定函數(shù)單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值.

（Ⅰ）因為，所以

則，，所以切線方程為

（Ⅱ）令，即，，得

當(dāng)變化時，變化如下：

		0
	減	最小值	增

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為

（Ⅲ）因為，所以

令，則

因為，所以

所以即在內(nèi)有唯一解

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

所以，又因為

所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn)

當(dāng)時，即，

當(dāng)時，即，

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在處取得最小值

即時，函數(shù)在上存在最小值