Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，記M的軌跡為曲線C，直線l：（）交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，軸，垂足為E，連接QE并延長交曲線C于點(diǎn)G.

（1）求曲線C的方程，并說明曲線C是什么曲線；

（2）若，求的面積.

（3）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓

（2）

（3）

【解析】

(1)根據(jù)，由兩點(diǎn)間的距離公式可看出，其表示動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離之和為，且，可知其符合橢圓的定義，把相關(guān)量代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；

(2)寫出直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，便可解出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而知道點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線的方程后，與曲線的方程聯(lián)立，可解出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代公式，即可求出面積；

(3)將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，解出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線的方程后，與曲線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，得直線的斜率，可驗(yàn)證，得是直角三角形，代兩點(diǎn)間的距離公式可求出，所以是一個(gè)關(guān)于直線的斜率的函數(shù)，由函數(shù)求最值的方法，即可求解.

（1）由，可得點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為4且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以、的橢圓，其中，，即，，所以曲線C的軌跡方程為，軌跡是以、的橢圓.

（2）根據(jù)題意得，與聯(lián)立

，解得或

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，Q點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)?/span>軸，垂足為E，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為

所以直線QE方程為

與聯(lián)立，可得，整理可得或

所以G點(diǎn)坐標(biāo)為

（3）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為（）.由得.

記，則，，.

于是直線QG的斜率為，方程為.

由得——①

設(shè)，則和是方程①的解，故.由此得.

從而直線PG的斜率為.

所以，即是直角三角形.

得，.

所以的面積.

設(shè)，則由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，S取得最大值，最大值為.

因此，面積的最大值為.