Question

【題目】如圖，平面上定點到定直線的距離，為該平面上的動點，過作直線的垂線，垂足為，且；

（1）試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線交軌跡于、兩點，交直線于點，已知，，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）以線段FM的中點為原點O，以線段FM所在的直線為y軸建立直角坐標系：則F（0，1），設(shè)動點P（x，y），則動點Q（x，-1），則有，，再由 求解.

（2）根據(jù)題意以及，，知 ，于是轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)拋物線的定義，過A、B兩點分別作準線l的垂線，垂足分別為A1、B1，有=，兩者聯(lián)立可得結(jié)論.

（1）

以線段FM的中點為原點O，以線段FM所在的直線為y軸建立直角坐標系：

則，F（0，1），

設(shè)動點P的坐標為（x，y），則動點Q的坐標為（x，-1），

所以，，

由 ，

得.

（2）由已知，，

如圖：向量同向，所以，向量異向，所以，

所以，

過A、B兩點分別作準線l的垂線，垂足分別為A1、B1，

由三角形的相似性得，

由拋物線的定義知 ，

所以，

所以，

所以 .