Question

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn，并證明：1≤Tn<.

Answer 1

【答案】(1) an＝3n－1.

(2) . 證明見解析.

【解析】分析：(1)由遞推關(guān)系式可得{an}是以3為公比的等比數(shù)列．且首項(xiàng)為1，則其通項(xiàng)公式為an＝3n－1.

(2)由題意可得，錯(cuò)位相減可得，據(jù)此結(jié)合的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.

詳解： (1)由an＋1＝2Sn＋1，得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，

兩式相減得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，

故an＋1＝3an(n≥2)，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是以3為公比的等比數(shù)列．

因?yàn)?/span>a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，＝3，

所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，an＝3n－1.

(2)由(1)知an＝3n－1，故bn＝log3an＋1＝log33n＝n，＝＝n·，

Tn＝1＋2×＋3×＋4×＋…＋n×，①

Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n-1)×+ n×，②

①－②，得Tn＝1＋＋,

所以Tn＝－(＋n). 因?yàn)?/span>(＋n) >0， 所以Tn＝－(＋n)<.

又因?yàn)?/span>Tn＋1－Tn＝>0，所以數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增，所以(Tn)min＝T1＝1，所以1≤Tn<.