Question

【題目】對(duì)任意正整數(shù)，若存在數(shù)列，滿(mǎn)足，其中，則稱(chēng)數(shù)列為正整數(shù)的生成數(shù)列，記為.

（1）寫(xiě)出2018的生成數(shù)列；

（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)，存在唯一的生成數(shù)列；

（3）求生成數(shù)列的所有項(xiàng)的和.

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列為；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)得到答案.

（2）只需證明兩個(gè)不同的項(xiàng)生成數(shù)列表示的正整數(shù)不同，類(lèi)推可得的充要條件是生成數(shù)列和相同，得到證明

（3）根據(jù)得到通項(xiàng)

，計(jì)算得到答案.

（1），

所以數(shù)列為；

（2）對(duì)于恰有項(xiàng)的生成數(shù)列，其表示的正整數(shù)最小值為，

表示的正整數(shù)最大值為

即項(xiàng)的不同生成數(shù)列共有

而滿(mǎn)足的正整數(shù)恰好有個(gè)

下面只需證明兩個(gè)不同的項(xiàng)生成數(shù)列表示的正整數(shù)不同，

設(shè)生成數(shù)列和表示的數(shù)為A和B，若，

即，同理，若有，也可得.

依次類(lèi)推可得的充要條件是生成數(shù)列和相同.

綜上可得，對(duì)任意正整數(shù)，存在唯一的生成數(shù)列 .

（3）因?yàn)?/span>

所以

即的通項(xiàng)為

故所有項(xiàng)的和為.