Question

已知數(shù)列的前項和為，點在直線上.數(shù)列滿足，且，前9項和為153.
（1）求數(shù)列、{的通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)的值；
（3）設(shè)，問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）  ＝ （2） 
（3）存在唯一正整數(shù)m =11，使得成立.

試題分析：（1）由題意，得即   
故當(dāng)時，
當(dāng)=1時，，而當(dāng)=1時，+5＝6,
所以，    
又，即   
所以（）為等差數(shù)列，于是
而，，
因此，＝，即＝   
（2） 
    
所以，
    
由于，
因此T_n單調(diào)遞增，故   
令   
（Ⅲ）  
①當(dāng)m為奇數(shù)時，m + 15為偶數(shù).
此時，
所以   
②當(dāng)m為偶數(shù)時，m + 15為奇數(shù).
此時，
所以（舍去）.    
綜上，存在唯一正整數(shù)m =11，使得成立.    
點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查裂項法的運用，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯，是高考的重點．