Question

已知數(shù)列和滿(mǎn)足：，，，其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)。
（Ⅰ）證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使是等比數(shù)列，則有，即
，矛盾。
所以不是等比數(shù)列。
（Ⅱ）證明：
。
又。由上式知，
故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）得，于是
，
當(dāng)時(shí)，，從而。上式仍成立。
要使對(duì)任意正整數(shù)，都有。
即。
令，則
當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，：當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，
的最大值為。
于是可得。
綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有；
的取值范圍為。

略