Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，是橢圓上半部分的動(dòng)點(diǎn)，連接和長軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)所得兩直線交正半軸于兩點(diǎn)（點(diǎn)在的上方或重合）．

（1）當(dāng)面積最大時(shí)，求橢圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，在軸上是否存在點(diǎn)使得為定值，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）存在,

【解析】

（1）由橢圓的方程，可得，結(jié)合三角形的面積公式和基本不等式，求得，進(jìn)而求得橢圓的方程；

（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，分別求得的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解．

（1）由題意，橢圓，可得，

則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

又由，解得，

所以橢圓方程為：；

（2）由題意，當(dāng)時(shí)，橢圓的，

假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，

設(shè)直線的方程為，

當(dāng)時(shí)，，即，

由，消去可得，可得，

所以，所以，

所以，，

所以，

因?yàn)?/span>的定值，

所以，即，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．