Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)；（2）見解析.

【解析】

（1）求導，令導數(shù)等于零，解方程，跟據(jù)f′（x）隨x的變化情況即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1），對k﹣1是否在區(qū)間[0，1]內(nèi)進行討論，從而求得f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

(1)由題意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.

令f′(x)＝0，得x＝k－1.

f(x)與f′(x)隨x的變化情況如下：

所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．

(2)當k－1≤0，即k≤1時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k；

當0<k－1<1，即1<k<2時，f(x)在[0，k－1]上單調(diào)遞減，在[k－1,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1；

當k－1≥1，即k≥2時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，

所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.

綜上，當k≤1時，f(x)在[0,1]上的最小值為

f(0)＝－k；

當1<k<2時，f(x)在[0,1]上的最小值為

f(k－1)＝－ek－1；

當k≥2時，f(x)在[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.