Question

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，給出以下結(jié)論： ①直線A1B與B1C所成的角為60°；
②若M是線段AC1上的動(dòng)點(diǎn)，則直線CM與平面BC1D所成角的正弦值的取值范圍是 ；
③若P，Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且PQ=1，則四面體B1D1PQ的體積恒為 ．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①在△A1BD中，每條邊都是 ，即為等邊三角形，∴A1B與A1D所成角為60°， 又B1C∥A1D，∴直線A1B與B1C所成的角為60°，正確；
②如圖，由正方體可得平面BDC1⊥平面ACC1 ， 當(dāng)M點(diǎn)位于AC1上，且使CM⊥平面BDC1時(shí)，直線CM與平面BDC1所成角的正弦值最大為1，
當(dāng)M與C1重合時(shí)，連接CM交平面BDC1所得斜線最長(zhǎng)，直線CM與平面BDC1所成角的正弦值最小等于 ，
∴直線CM與平面BDC1所成角的正弦值的取值范圍是[ ，1]，正確；
③連接B1P，B1Q，設(shè)D1到平面B1AC的距離為h，則h= ，B1到直線AC的距離為 ，
則四面體PQB1D1的體積V= ，正確．
∴正確的命題是①②③．
故選：D

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系才能正確解答此題．