Question

(本小題滿分14分)如圖，為圓柱的母線，是底面圓的直徑，分別是的中點(diǎn)，DE⊥面CBB₁.
(Ⅰ)證明：DE //面ABC；
(Ⅱ)求四棱錐與圓柱的體積比;
(Ⅲ)若,求與面所成角的正弦值.

Answer 1

解:證明:連結(jié).
分別為的中點(diǎn),∴.…2分
又，且.
∴四邊形是平行四邊形，
即.………………3分
∴.………………4分

∵，且由知.
∴,∴,∴.………………6分
因是底面圓的直徑，得，且,
∴即為四棱錐的高. ………………………………7分
設(shè)圓柱高為，底半徑為，則，,
∴.………………………………9分
解一：由可知，可分別以為
坐標(biāo)軸建立空間直角標(biāo)系，如圖設(shè)，
則,,,
從而,
，由題設(shè)知是面的法向量，

設(shè)所求的角為.…………………………………12分則
.………………………………14分

解二：作過(guò)的母線，連結(jié)，則是上底
面圓的直徑，連結(jié)，得，
又,∴，連結(jié),
則為與面所成的角,
設(shè)，則,.(12分),
在中，.(14分)
 

略