Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，O為AC和BD的交點(diǎn)，過A、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-AC₁D_l，且這個(gè)幾何體的體積為．
（1）求證：OD₁∥平面BA₁C₁
（2）求棱A₁A的長：
（3）求點(diǎn)D₁到平面BA₁C₁的距離．

Answer 1

（1）證明：取A₁C₁的中點(diǎn)M，連接BM，MD₁，則MD1

∥ .

.

BO
所以四邊形OBMD₁是平行四邊形，OD₁∥BM
又BM?平面BA₁C₁
∴OD_l∥平面BA₁C₁（4分）
（2）設(shè)A₁A=h，由題設(shè)可知VABCD-A1C1D1=

V	ABCD-A1B1C1D1

-VB-A1B1C1=10（6分）
得SABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=10，即2×2×h-

1

3

ו

1

• 2

×2×2×h=10
解得h=3
棱A₁A的長為3（10分）
（3）點(diǎn)D₁到平面BA₁C₁的距離即為點(diǎn)B₁到平面BA₁C₁的距離d．B!M=

2

，BM=

B B 21 • + B1．M2

=

32+( 2 )2

．=

11

∴SBA1C1=

1

2

×A1C]×BM=

1

2

×2

2

×

11

=

22

（12分）
又VB1-BA1C1=VABCD-A1B1C1D1-10

1

3

SBA.1C1d=2×2×3-10=2
∴

1

3

×

22

×d=2∴d=

3 22

11

點(diǎn)D₁到平面BA₁C₁的距離

3 22

11

（14分）